ریاضی میں لا محدودیت - ایک پراسرار تصور

طبیعیات کی ایک مشھور کہاوت ہے کہ  اگر آپ نےکوانٹم مکینکس(Quantum Mechanics) پڑھی اور اس نے آپ کو چونکایا نھیں تو سمجھ لیں آپ نے کوانٹم مکینکس سمجھی ہی نھیں۔ مجھے تو یوں محسوس ھوتا ہے کہ جیسے علمِ ریاضی کا ہر ہر تصور، وصف اور نظریہ ہی ایسا ہے کہ اگر پڑھنے کے بعد آپ چونکتے نہیں تو یقین جانیے کہ آپ کے سمجھنے میں شاید کچھ کمی رہ گی ہے۔ اس پربعض دوستوں نے اصرار کیا کہ کچھ ایسی مثالیں پیش کروں جس سے اندازہ ہو کہ واقعتاً غیر محسوس طور پر جن ریاضیاتی تصورات  کے بارے میں ہم یہ گمان کر لیتے ہیں کہ اب  ہم  ان  کو  مکمل طور پر سمجھ  چکے  ہیں، مگر ان  ہی  تصورات کو ذرا مختلف زاویے سے دیکھنے پرہم اکثر  انگشت  بدنداں  رہ  جاتے  ہیں۔ جیسے جیسے وقت  ملتا  رہے  گا  کچھ  مثالیں  پیش  کرتا  رہوں  گا. آغاز   Infiniteسے کرتے  ہیں۔

عمومی  طور  پر  لفظ "Infinite"  ہم  لامتناہی  یا  لامحدود  کے  معانی  میں  استعمال  کرتے  ہیں. مگر  حقیقتا  ریاضی میں لا محدودیت کا تصور  ان  معانی  سے  کہیں  زیادہ  پراسرار ہے۔ بالخصوص  ہم  جیسے  ایک  کلوزڈ  متناہی  و محدود  کائنات  کے  باسیوں  کیلئے . ایک اندازے  کے  مطابق  کائنات  میں  موجود  کل  ایٹموں  کی  تعداد  تقریبا  ایک  گوگول  (یعنی  1 کے  بعد  اکاسی  زیرو) ہے.میرے  خیال  سے  infinite  کی  پراسراریت  کو  سمجھنے  کا  ایک  خوبصورت  ذریعه  ایک  جرمن  ریاضی  دان  ڈیوڈ  ہلبرٹ  کی  مشہور  "گرینڈ ہوٹل پیراڈوکس" ہے.

گرینڈ  ہوٹل  ایک  لا محدود  کمروں  پر  مشتمل  ہوٹل  ہے  جس  کے  تمام  کمرے  ایک  نہ  ختم  ہونے  والی  گلی  میں  ساتھ  ساتھ  ہیں  اور  انکو کمرہ نمبر  1,2,3.... کے  نام  دے  گئے  ہیں. ملاحظہ ہو مندرجہ ذیل تصویر۔

یہ بھی پڑھیں:   لا محدودیت اور طبیعیات کے مشترکہ عجائب

 

infinite1

پھر ایک  رات  یوں  ہوتا  ہے  کہ  اس  ہوٹل  کے  تمام  کمرے  فل  ہوتے  ہیں. مگر عجب  بات  یہ  کہ  ہوٹل  کے  باہر پھر  بھی  "کمرے  دستیاب  ہیں" کا  بورڈ  آویزاں  ہوتا  ہے. پھر یہ  بورڈ  دیکھ  کر  ایک  شخص  رات  گزارنے کیلنے کمرہ  لینے  آ جاتا  ہے. " نو  پرابلم  سر" ریسپشنسٹ  مسکرا  کر  جواب  دیتا  ہے.

infinite2

اب  ریسپشنسٹ  لامتناہی  صبر کے  ساتھ  کمرہ  نمبر 1  کے  مہمان  کو  کمرہ  نمبر 2  میں  اور  کمرہ  نمبر  دو  کے  مہمان  کو  کمرہ  نمبر 3  میں.. اور  اسی طرح  ہر  کمرے  کے  مہمان  کو  اگلے  کمرے  میں  منتقل  کردیتا  ہے  اور  یوں  کمرہ  نمبر  1  نئے آنے  والے  مہمان  کے  لئے  خالی  ہو جاتا  ہے۔ ملاحظہ ہو درج ذیل تصویر۔

infinite3

بات یہیں ختم نہیں ہوتی ...اگلی رات پھر ہاؤس فل ہوتا ہے. اس بار ایک ایسی مسافروں کی بس آتی ہے جس میں مسافر Infinite تعداد میں موجود ہوتے ہیں. ریسپشنسٹ حسب معمول مہمانوں کو خوش آمدید کرتا ہے. پر اب معاملہ پیچیدہ ہے کیوں اب نیے آنےوالے مہمانوں کی تعداد بھی Infinite  ہے.

infinite4

ریسپشنسٹ اپنے غیر معمولی صبر کے ساتھ یہ ترکیب کرتا ہے کہ .. کمرہ نمبر 1 کے مہمان کو کمرہ نمبر2 اور کمرہ نمبر 2 کے مہمان کو کمرہ نمبر 4 میں اور کمرہ 3 کے مہمان کو کمرہ 6 میں ...منتقل کرتا جاتا ہے. اس ترتیب کو فالوکرتے ہوئے ہوٹل کے تمام موجودہ مہمان جفت (even) نمبر کمروں میں منتقل ہوجاتے ہیں اور نیے آنے والے مہمانوں کے لئے لامحدود طاق (odd) نمبر کمرے خالی ہو جاتے ہیں اور تمام مہمان ہنسی خوشی رات بسر کرتے ہیں.

یہ بھی پڑھیں:   شخصیت

infinite5

اب صورتحال ذرا گھمبیر ہے۔ ہوتا کچھ یوں ہے کہ اگلی رات  infinite  بسیں آجاتی ہیں جن میں سے ہر ایک بس میں infinite مسافر موجود ہیں۔ سوال پیدا ہوتا ہے کیا اب تمام مسافرین کو ہوٹل میں ٹہرانا ممکن ہے؟  ہوٹل کے سامنے کی صورتھال کچھ یوں ہے۔

infinite6

ہوتا یوں ہے کہ ریسپشنسٹ (جو کہ ریاضی داٖن معلوم ہوتے ہیں ) ایک ترکیب لڑاتے ہیں اور اعلان کرتے ہیں کرتے ہیں کہ تمام مہمانان اپنی اپنی بس کے سامنے قطار میں کھڑے ہوجایں اور یقین و صبر رکھیں کہ سب کو کمرہ ملے گا۔! لگتی نا ممکن سی بات ہے مگر لامتنا ہیت کی دنیا میں سب مکن ہے۔ ریسپشنسٹ مندرجہ ذیل strategy پر عمل پیرا ہوتے ہیں۔

infinite7

تیر کے نشان کو follow کرتے ہوے جناب ریسپشنسٹ کچھ یوں کرتے ہیں کہ بس نمبر ایک کے سامنے قطار میں کھڑے مسافر کو کمرہ نمبر 1، بس 2 کے پہلے مسافر کو کمرہ نمبر 2 ، بس نمبر 1 کے دوسرے مسافر  کو کمرہ نمبر 3، بس ا یک کے قطار میں کھڑے مسافر کو کمرہ نمبر 4 ۔۔اور اسی طرح اوپر دی گی اسکیم کے تحت تمام مہمانان کو کمروں مین منتقل کیا جاتا ہے۔

ریاضیاتی طور پر اوپر   دی گئی  پہلی  مثال Infinite+1=Infinite کی ہے،  جب کہ دوسری Infinite+Infinite=Infinite کی ہے جب کےآخری Infinite *Infinite=Infinite کی ہے جو ہم اکثر بہت آسانی سے استعمال کرتے ہیں. مگر ہم محسوس نہیں کرہے ہوتے ہیں کہ ہم کس قدر پراسرار چیز کے بارے میں کلام کرہے ہیں. انفنٹ کی عجیب و پر اسرار دنیا میں "بعض "جز... کل کے برابر ہو سکتے ہیں. کیا؟ جز کل کے برابر۔۔۔! ؟ اگلی تحریر کا انتظار کیجیے۔

یہ بھی پڑھیں:   ڈی این اے - ایک حیرت کدہ

تیسری مثال ریاضی کے طلباء کے لئیے خاص طور پر دلچسپی کا باعث ہو سکتی ہے کیونکہ بعینہ یہی دلیل ریشنل نمبرز کی countability ثابت کرنے کیلئے استعمال کی جاتی ہے۔

مذہب ہو یا فلسفہ، فزکس ہو یا ریاضی infinite کی وسعت و پر اسراریت کو سمجھے بغیر بعض اہم ترین تصورات کو سمجھنا نا ممکن ہے۔ بات کا اختتام پروفیسرآرتھر ایڈنگٹن infinite کی پر اسراریت سے زچ آکر کہے گئے الفاظ  پر کرنا چاہوںگا۔۔۔ "کسی معقول طبیعات دان کا انفنٹ سے کبھی کوئی تعلق نہیں  ھو سکتاْ"  مگر اس کم بخت Quantum Mechanics کا کیا کیجیے جس کا وجود ہی   infinite dimensional ریاضی کے مرھون منت ھے اور شاید اسی لیے یہ اسقدر  پراسرار ھے کہ اس کے سمجھنے کا دعوی ناسمجھی کی دلیل ھے۔

نوٹ: مندرجہ بالا تصاویر  www.worldsciencefestival.com  سے لی گئی ہیں۔

 

 

(807 مرتبہ دیکھا گیا)

جاوید حسین

جاوید حسین صاحب سائنسی مضامین لکھنے میں دلچسپی رکھتے ہیں۔ حال میں ریاضی میں پی ایچ ڈی کر رہے ہیں۔ ان کی تحریروں سے فائدہ اٹھائیں۔

آپ یہ صفحات بھی دیکھنا پسند کریں گے ۔ ۔ ۔

8 تبصرے

  1. محمد اسامہ سرسری says:

    بہت دل چسپ۔ 🙂

  2. Badar Qureshi says:

    great sir infinite ko buht khoob samjhaya aur aik hotel ki misal dy kr.

  3. kaleem says:

    Really wonderful

  4. zamzam says:

    Keep flying in the air bro. Excellent job!

  5. کمال سر جی کمال بہت خوب

  6. انفینٹی کو کوانٹم میکانکس کے حوالےسے سمجھنے چاہتا ہوں ۔۔۔۔ کیوں ابھی تک کوانٹم نیول پر پارٹیکلز کے بیہیورئز نے مجھے سے حیرانگی کم نہیں ہو رہی

  7. I enjoyed it brother. Very interesting way to explain enigma <3

  1. November 11, 2015

    […] مضمون سے پیوستہ گزشتہ مضمون کو […]

تبصرہ کریں